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前言
《系辞上传》曰：易有太极，是生两仪……。两仪即阴与阳。由于周易八卦乃至六十四卦都是由阴爻与阳爻这两种元素按不同顺序排列组合而成的，因而，周易六十四卦很自然地符合二进制数学模式。公元1701年，德国数学家莱布尼兹从传教士手中得到了《周易》，并于1703年，在《皇家科学院论文集》上发表了“谈二进制算术”一文，从此揭开了 《周易》与二进制数学之间的关系。长久以来，大多数学者均侧重于从中国传统文化及阴阳五行等角度来研究《周易》，有关专著与文章数不不胜数。近些年来，随着计算机的发展，出现了一些研究《周易》与二进制数学关系方面的文章，但多是用二进制数学来表述《周易》，揭示二者的关系。而从数学角度出发，以二进制数学为工具来深入研究隐藏在周易六十四卦中的内在的数学关系与规律的文章则鲜有所见。本文正是对此做些初步地探讨。
需要说明的是，周易六十四卦在历史发展中出现了不同的版本，不同版本具有不同的排列顺序，具代表性的有：伏羲六十四卦序、通用本《周易》卦序，京房卦序及马王堆帛书卦序。本文将以伏羲六十四卦为研究分析的对象。
一、定义
周易六十四卦，每卦从下至上皆由六个爻组成。爻分为阴爻（表示为--）与阳爻（表示为--）两种。将这两种爻按不同顺序排列组合即成六十四卦。
今令阳爻（--）为二进制数学的“1”，令阴爻（--）为“0”。则伏羲六十四卦的前四卦可列举如下：
卦的序号 卦名 卦形 用0或1表示 二进制数 十进制数
每个卦都是从下往上数，1—3爻称“下卦”，4—6爻称“上卦”。如：
该卦的二进制数即为001010。
则001为下卦，010为上卦。
六十四卦余者类推。
二、伏羲六十四卦的坐标图及数学关系
伏羲六十四卦始于坤卦（000000），终于乾卦（111111）。将此六十四卦按本来的顺序（卦序）排成八行，每行排八个卦，行与行首尾在卦序上相接，并将其置于OXY坐标系中进行分析研究，这样，坐标系的每个象限刚好拥有十六个卦。坐标原点为O，横轴为X—O—X，纵轴为Y-O-Y。为明了起见，先将卦的序号（并以圆点代表各个卦）排列在OXY坐标系中，而后再将六十四卦填入。
图1 伏羲六十四卦的坐标图（以卦的序号示之）。
在以后的叙述中，要多次用到这个六十四卦在OXY坐标系中的点阵图，来分析说明存在于伏羲六十四卦之中的数学关系与规律。
将伏羲六十四卦置于OXY坐标系中，如图2所示。图中在卦形的下面标有该卦的十进制数及卦的序号。
从此坐标图中可看出如下规律与关系：
1．图2的Ⅰ—Ⅱ及Ⅲ—Ⅳ两两象限中的卦皆与OX轴呈对应关系。如下所示：
上下相对称的两个卦，因在OX轴上离原点“O”的距离相等。因而具有相同的上卦。如100、101、110、111。而它们的下卦，虽然在OY轴上距离相等，但符号相反。因而，它们的下卦刚好阴阳相反。如100与011。由此可知，每个卦的上卦代表着它在OX轴上的位置，而每个卦的下卦则代表它在OY轴上的位置。
2．在图2的坐标系中，Ⅰ—Ⅲ及Ⅱ—Ⅳ两两象限中的卦，左右以OY轴呈现对称关系，如：
即在Ⅰ—Ⅲ两个象限中，相对称的两个卦，因在OY轴上离原点“O”的距离相等，因而具有相同的下卦，如000、001、010、011。而它们的上卦，虽然在OX轴上的距离相等，但符号相反，因而阴阳刚好相反。如100与011。
Ⅱ—Ⅳ两象限，情况亦然。如下所示：
3．由以上1及2可得出推伦：在OX（及-X）轴上，距离相等的两个卦，其上卦相同；而在OY（及-Y）轴上，距离相等的两个卦，其下卦相同。
图2 伏羲六十四卦的坐标图
三、伏羲六十四卦中的加减法关系
用二进制数学表述伏羲六十四卦后，可以明显地看出，在六十四卦之中，卦与卦之间存在着加减法关系。
设：每个卦的序号为n，每个卦的十进制数为R。则n与R 的关系式为 n=R+1
1．加法关系
法则：在伏羲六十四卦中，任何Rn1+Rn2≤63的两个卦相加之和所表述的卦是相加的两个卦的十进制数R相加之和所指示的那个卦。
举例说明如下：
例1．以第6卦000101（R6=5）与第10卦001001（R10=9）相加。
两卦相加，所得之和001110正是第15卦（R15=14）。亦即：
R15=R6+R10=5+9=14
例2．以第22卦010101与第39卦100110相加。
同理，两卦相加所得之和111011正是第60卦（R60=59）亦即：
R60=R22+R39=21+38=59
2．减法关系
为保证两卦相减之差为正，应由高卦序的卦减去低卦序的卦。
法则：在伏羲六十四卦中，任意一个高卦序的卦减去一个低卦序的卦，相减之差所表述的卦，是相减的两个卦的十进制数R相减所指示的那个卦。
举例说明如下：
例1．以第38卦100101（R38=37）与第24卦010111（R24=23）相减。
两卦相减，所得之差001110正是第15卦。亦即：
R15=R38-R24=37-23=14
例2．以第63卦111110与第35卦100010相减。
同理，两卦相减，所得之差011100正是第29卦（R29=28）。亦即：
R29=R63-R35=62-34=28
四、伏羲六十四卦的分类
按照不同的原则，伏羲六十四卦可分成不同的类别。
1．对卦与复卦
⑴对卦
每个卦均由六个爻组成，可在卦的第3与第4爻之间划一条线作为轴。所谓“对卦”，即是轴两边的三个爻呈对称状。如：
在伏羲六十四卦中，具有这种轴对称结构的“对卦”共有八个。如下所示：
从图2的oxy坐标系中可知，这八个“对卦”的序号分别为：
从中可以看出，它们相邻两个序号之差也呈轴对称状，即：
在图3的OXY坐标系中，可以看到这八个“对卦”所处的位置及其分布的形态：
图3 八个对卦在OXY坐标系中的位置。
⑵复卦
在伏羲六十四卦中，如果两个卦自下而上完全是颠倒的，如000011与110000，其卦形与卦名可写成：
这样的一对卦称为“复卦”。在六十四卦中，除上述八个“对卦”外，共有二十八对“复卦”。
在二十八对“复卦”中又可分成两类。一类是“复卦”的二进制数相加之和呈轴对称状；一类是不呈轴对称状。分别列表如下：
二进制数相加之和呈轴对称状的复卦（十三对）
二进制数相加之和不呈轴对称状的复卦（十五对）
以上两表总共涉及到二十八对（13+15=28）“复卦”，亦即，在伏羲六十四卦中，有五十六个卦互相之间两两构成了“复卦”。那么，其余八个卦，即在第四节中所述的八个呈轴对称的“对卦”，它们由于是轴对称的，因而不可能构成“复卦”。
2．顺卦与交卦
⑴顺卦
所谓“顺卦”，即指一个由相同的下卦与上卦组成的卦。如：
在伏羲六十四卦中，具有这种上、下卦相同的卦共有八个。
它们的序号及相邻两个序号之差如下所示：
从中可看出，相邻的两个序号之差均为9，亦即这种“顺卦”在六十四卦中每隔九个卦出现一次。这也是伏羲六十四卦中一个有趣的现象。
它们在图4的OXY坐标系中的位置与分布形态如下：
图4 顺卦斜线在oxy坐标系中的位置.
从中可以看出，从000000到111111共有八个“顺卦”，它们呈直线状排列，与oxy轴刚好呈45°，在原点“o”处相交。在此，称该斜线为“顺卦斜线”。
（2）交卦
在伏羲六十四卦中，除了八个“对卦”外，其余五十六卦，还可以组成二十八对“交卦”。所谓“交卦”，即两个卦的上卦与下卦刚好相互交换位置。如：
今将二十八对“交卦”，分四批分别列表如下：
第一批：七对“交卦”：
这七对“交卦”在图5.的oxy坐标系中的位置以及与二进制数相加之和的关系如下图所示：
图5 交卦在OXY坐标系中的位置（之一）
从图中可以看出，每对“交卦”均呈直线排列且互相平行，与OX及OY均呈45°角，而每对“交卦”的连接线与其二进位数之和则构成一个直角三角形，直角三角形的直角顶点均位于“顺卦斜线”上。 第二批：五对“交卦”
它们在图6的OXY坐标系中的位置及与二进制数相加之和的关系如下图所示：
图6 交卦在OXY坐标系中的位置（之二） 第三批：四对“交卦”
它们在图7的OXY坐标系中的位置及与二进制相加之和的关系如下图所示：
图7 交卦在OXY坐标系中的位置（之三）
第四批：十二对“交卦”。
这十二对交卦，由于二进制数相加之和超出111111，与“顺卦斜线”没有交点，因而构不成三角形。
3．错卦
所谓“错卦”，即指两个卦相对应的爻刚好阴阳相反。并且，每对“错卦”的二进制数相加之和均等于111111。伏羲六十四卦可配成三十二对“错卦”，列表如下：
从伏羲六十四卦的OXY坐标图可知，这三十二对“错卦”，每一对都以原点O为对称点，呈对称分布，在图8的OXY坐标系中，它们的位置与分布如下图所示：
图8 错卦在OXY坐标系中的分布
图中只画出十五对“错卦”，均以原点O为对称点呈对称状分布，其余十七对“错卦”亦然。
也可将ox轴上部三十二个卦以原点O为轴，顺时针（或逆时针）旋转180°，使其与OX轴下部的三十二个卦相对应地重叠在一起，即构成三十二对“错卦”。
五、用二进制数学推演伏羲六十四卦
1．由先天八卦演绎六十四卦
已知先天八卦为：
既然伏羲六十四卦是由八个上卦与八个下卦按不同顺序排列组合而成，则可由先天八卦用列表的方法排列如下。需要说明的是先天八卦的卦序是由“乾卦”开始以“坤卦”结尾，为与伏羲六十四卦取得一致，在表中将先天八卦，改为由坤卦（000）开始，以乾卦（111）为结尾的排列方式。
由此表可以看出，每个下卦与对应的上卦，两两相重，组合成六十四卦，从000000到111111，每行八个卦，而后与下一行首尾相接，即连成六十四卦。这个卦序，即从000000—0000001—000010—000011—000100—000101—000111—001000……—001111—01000—……111110—111111。正好符合伏羲六十四卦从坤卦到乾卦的卦序。
当初，伏羲排列六十四卦，曾经过怎样的过程，不断调整不断修改，最后确定下来，早已无人知晓。其最终结果即伏羲六十四卦卦序却与上表所列的排列组合完全一致，完全符合二进制数学的排列顺序，是令后人惊叹不已的！
2．数学推演法
伏羲六十四卦的首卦是坤卦，即000000，末卦是乾卦，即111111，由二进制数学可知：
如果从坤卦开始，每次在个位加1，将陆续得出的卦，顺序排列起来，如下所示：
由此即可得出从坤卦（000000）到乾卦（111111）的六十四卦，与伏羲六十四卦的卦序完全一致，可见伏羲六十四卦的排列是十分严谨的，是不可动摇的，其内在的原因是以二进制数学为基础的。
结束语：
本文将伏羲六十四卦置于OXY坐标系中，以二进制数学为工具，进行分析、对比、研究，发现伏羲六十四卦中，卦与卦之间以及按不同分类原则进行分类后，各种不同类的卦之间都有着内在的数学规律与数学关系。而像“对卦”、“复卦”、“顺卦”、“交卦”及“错卦”等等在OXY坐标系中都有着特殊的位置与分布状态。对伏羲六十四卦中这些特性与数学关系的揭示，可以更进一步展现出中国古代先人的高超智慧。《周易》不愧为世界民族之林的不朽之作。
（和存平：河北省科学院正高级工程师）
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